Equation différentielle du premier ordre (COURS)

1- Définition

Une équation différentielle se présente comme une équation où l'inconnue est une fonction, généralement notée \(y(x)\) ou simplement \(y\). Elle implique l'apparition de certaines des dérivées de cette fonction, telles que la dérivée première (\(y'\)), ou des dérivées d'ordres supérieurs (\(y'', y^{(3)}, \ldots\)).

Exemple: On considère les équations différentielles suivantes :

• \(y' - y = 0\) est une équation différentielle de 1er ordre sans second membre.
• \(y'' - 3y' + 2y = x^3-5\) est une équation différentielle de 2ème ordre avec second membre.

2- L'équation : \(y' = ay + b\) avec \(a \in \mathbb{R}\)

Soient \(a\) un réel non nul et \(b\) un réel quelconque, considérons l'équation différentielle \((E)\) : \(y' = ay + b\)

\[ \begin{align*} (E) \quad & \forall x \in \mathbb{R}; \, y'(x) = ay(x) + b \\ & \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}; \, y'(x) = a(y(x) + \frac{b}{a}) \\ & \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}; \, (y(x) + \frac{b}{a})' = a(y(x) + \frac{b}{a}) \\ &\Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}; \, u'(x) = au(x) \quad \text{avec } y(x) = u(x) + \frac{b}{a} \\ & \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}; \, y(x) + \frac{b}{a} = ke^{ax}, \quad k \in \mathbb{R} \\ & \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}; \, y(x) = ke^{ax} - \frac{b}{a} \\ \end{align*} \]

Soit \(a\) un réel non nul et \(b\) un réel, \((E)\) : \(y' = ay+b\) une équation différentielle définie sur \(\mathbb{R}\). La solution générale de l'équation différentielle \((E)\) est l'ensemble des fonctions \(x \mapsto y(x) = ke^{ax} - \frac{b}{a}\) où \(k\) est un réel.

En particulier, \(a\) un réel non nul, \((E')\) : \(y' = ay\) une équation différentielle définie sur \(\mathbb{R}\). La solution générale de l'équation différentielle \((E')\) est l'ensemble des fonctions \(x \mapsto y(x) = ke^{ax}\) où \(k\) est un réel.

Remarque: Le réel \(k\) dans la solution générale de l'équation différentielle \((E)\) peut être déterminé par les conditions initiales.

3- Exemple

On considère l'équation différentielle \((E)\) : \(y' - 5y = 6\)

1. Résoudre l'équation différentielle \((E)\).
2. Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que : \(f(1) = 0\)

Solution

1. Résolvons l'équation \((E)\) :
\[ \begin{align*} &y' - 5y = 6 \quad \Rightarrow y' = 5y + 6 \\ &f(x) = ke^{5x} - \frac{6}{5}, \quad k \in \mathbb{R}. \end{align*} \]
2. Déterminons la solution \(f\) telle que \(f(1) = 0\)
\[ \begin{align*} &f(1) = 0 \quad \Rightarrow ke^{5} - \frac{6}{5} = 0 \\ &\Rightarrow ke^{5} = \frac{6}{5} \\ &\Rightarrow k = \frac{6}{5}e^{-5}. \end{align*} \] Par conséquent, \[ f(x) = \frac{6}{5}e^{-5}e^{5x} - \frac{6}{5}= \frac{6}{5}[e^{5{(x-1)}}-1]\ \]