Les Fonctions Logarithmiques

Description du cours

Ce cours aborde les fonctions logarithmiques, en particulier le logarithme népérien noté \( \ln \). Il couvre sa définition, ses propriétés fondamentales, son domaine de définition, ses limites usuelles, ainsi que sa continuité. À travers une approche théorique et des exercices pratiques, ce cours permet aux apprenants de comprendre et maîtriser l’usage des logarithmes dans un contexte mathématique rigoureux.

Objectifs d'apprentissage

À la fin de ce cours, l’apprenant sera capable de :

Définir et interpréter la fonction logarithme népérien \( \ln \);
Appliquer les propriétés algébriques des logarithmes pour simplifier des expressions ;
Déterminer le domaine de définition d’une fonction logarithmique composée ;
Analyser les limites importantes associées à \( \ln \);
Démontrer la continuité de la fonction logarithme et de ses compositions ;
Résoudre des problèmes et équations en lien avec les logarithmes.

1- Définition

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \) (ou \( \log_e \)), est la primitive de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x} \) définie sur l'intervalle \( ]0 ; +\infty[ \) et qui s'annule en 1.

\( \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \)
\( \ln(x^r) = r \ln(x) \quad (r \in \mathbb{Q}) \)
\( \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y) \)
\( \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x) \)
\( \ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = y \)
\( x > y \Rightarrow \ln(x) > \ln(y) \)

Pour tout \( x \in ]0; +\infty[ \), \( \exists y \in \mathbb{R} \quad y = \ln(x) \Leftrightarrow x = e^y \)

Si \(n\) est pair (\(\forall x \in \mathbb{R}^*\)) : \( \ln(x^n) = n \ln(|x|) \)

\( \ln(1) = 0 \quad \ln(e) = 1 \)

Exemple d'application : Simplifions l'expression \( \ln(5x^2) \).
On applique les propriétés :
\( \ln(5x^2) = \ln(5) + \ln(x^2) = \ln(5) + 2\ln(x) \)

2- Domaine de définition

\( f(x) = \ln(x) \Rightarrow \mathcal{D}_f = ]0 ; +\infty[ \)
\( f(x) = \ln(u(x)) \Rightarrow \mathcal{D}_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid u(x) > 0 \} \)

Exemple 1 : Déterminons le domaine de définition de \( f(x) = \ln(x - 2) \)
\( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \), donc \( \mathcal{D}_f = ]2 ; +\infty[ \)

Exemple 2 : Déterminons le domaine de \( f(x) = \ln(3x + 6) \)
\( 3x + 6 > 0 \Rightarrow x > -2 \), donc \( \mathcal{D}_f = ]-2 ; +\infty[ \)

Exemple 3 : Déterminons le domaine de \( f(x) = \ln(x^2 - 1) \)
\( x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1 \) ou \( x > 1 \), donc \( \mathcal{D}_f = ]-\infty ; -1[ \cup ]1 ; +\infty[ \)

3- Limites principales

\( \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0^- \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \)

4- Conséquences

\( u(x) \to +\infty \Rightarrow \ln(u(x)) \to +\infty \)
\( u(x) \to 0^+ \Rightarrow \ln(u(x)) \to -\infty \)
\( u(x) \to +\infty \Rightarrow \frac{\ln(u(x))}{u(x)} \to 0 \)
\( u(x) \to 0^+ \Rightarrow u(x)\ln(u(x)) \to 0 \)
\( u(x) \to +\infty \Rightarrow \frac{\ln(u(x)+1)}{\ln(u(x))} \to 1 \)

Exemple 1 : Calculons \( \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x^2 + 1) \)
\( \lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 + 1) = +\infty \Rightarrow \lim\limits_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty \) \( (X = x^2 + 1) \)

Exemple 2 : Étudions \( \lim\limits_{x \to 1^+} (x - 1)\ln(x -1) \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} (x - 1) = 0^+ \Rightarrow \lim\limits_{X \to 0^+} X\ln(X) = 0^- \) \( (X = x - 1) \)

5- Continuité

La fonction \( x \mapsto \ln(x) \) est continue sur \( ]0 ; +\infty[ \).

Si \( u \) est strictement positive et continue sur un intervalle \( I \), alors \( x \mapsto \ln(u(x)) \) est continue sur \( I \).

Fonctions Logarithmiques (Cours)