Fonctions logarithmes népériens (Exercices)

Exercice 1 (Propriétés)

Simplifiez les expressions suivantes :

  1. \( \ln(6) + \ln(5) \)
  2. \( \ln\left(\frac{12}{3}\right) \)
  3. \( \ln(4^3) \)
  4. \( \ln(a^2b^3) \)
  5. \( \ln\left(\frac{x^3}{\sqrt{y}}\right) \)
  6. \( \ln(\sqrt{2}) \)
  7. \( \ln(7) - \ln(2) \)
  8. \( \ln(3x^2) \)
  9. \( \ln\left(\frac{(x+1)^2}{(x-1)}\right) \)
  10. \( \ln\left(\frac{1}{x^5}\right) \)

Exercice 2 (Domaine)

Déterminez le domaine de définition :

  1. \( f(x) = \ln(x - 4) \)
  2. \( f(x) = \ln(x^2 - 9) \)
  3. \( f(x) = \ln(\sqrt{x}) \)
  4. \( f(x) = \ln(-x + 6) \)
  5. \( f(x) = \ln(3x^2 + 1) \)
  6. \( f(x) = \ln(x(x-2)) \)
  7. \( f(x) = \ln(\cos(x)) \)
  8. \( f(x) = \ln(x + \ln(x)) \)
  9. \( f(x) = \ln(|x - 1|) \)
  10. \( f(x) = \ln(x^3 - 2x) \)

Exercice 3 (Limites)

Calculez les limites suivantes :

  1. \( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) \)
  2. \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} \)
  3. \( \lim\limits_{x \to 0^+} x \ln(x) \)
  4. \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \)
  5. \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} \)
  6. \( \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(\sqrt{x}) \)
  7. \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} \)
  8. \( \lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} \)
  9. \( \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^2} \)
  10. \( \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{\ln(x)} \)

Exercice 4 (Équations)

Résolvez les équations suivantes :

  1. \( \ln(x) = 2 \)
  2. \( \ln(x^2) = 4 \)
  3. \( \ln(x) + \ln(2) = \ln(10) \)
  4. \( \ln(x) = \ln(3x - 5) \)
  5. \( \ln(x + 1) - \ln(x - 1) = \ln(2) \)
  6. \( \ln(x^2 - 4) = \ln(5) \)
  7. \( \ln(\sqrt{x}) = 3 \)
  8. \( \ln(x + 1) + \ln(x - 2) = \ln(3) \)
  9. \( \ln(x) = -\ln(5) \)
  10. \( \ln((x - 3)^2) = 6 \)

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